Affichage des résultats 1 à 6 sur 6
Like Tree2Likes
  • 1 Post By Thanh Ba.ch
  • 1 Post By Thanh Ba.ch

Discussion: Le grand théorème de Fermat. Démonstration à la Fermat. Appel aux mathématiciens ... !

  1. #1
    Amoureux du Viêt-Nam Avatar de Thanh Ba.ch
    Date d'inscription
    janvier 2006
    Messages
    827

    Par défaut Le grand théorème de Fermat. Démonstration à la Fermat. Appel aux mathématiciens ... !

    Théorème[1] — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :xn + yn = zn,dès que n est un entier strictement supérieur à 2.
    Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable.
    Ce qui suit serait-il ce que Fermat avait omis d'expliciter ? Appel aux mathématiciens est lancé ...



    Pierre de Fermat (Première décennie du XVIIe siècle - 12 janvier 1665)




    Fermat avait écrit :

    « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir[4]. »

    Au risque de vous ennuyer, voici une démonstration qui comme Fermat l'avait annoncé, est "véritablement merveilleuse" ... vraiment


    On suppose acquis l'énoncé du problème et admis la partition de l'ensemble des entiers naturels selon le critère dit de Pythagore ...



    a, b, c entiers naturels





    1. a² + b² < c² => a, b < c ; => a³+ b³ < c³ cqfd
    2. a² + b² = c² => a, b < c ; => a³+ b³ < c³ cqfd
    3. a²+b² > c²


      1. a ou b > c ; => a³+ b³ > c³ cqfd
      2. a,b < c, Ǝ ? a³+ b³ = c³





    Démonstration par l’absurde

    Hypothèse : Ǝ a³+ b³ = c³

    Soit alors une suite de sommations, itérations (d’indice i) … notées ici 3.2.i

    3.2.1


    a² + b² = c² et a³+ b³ = c³=> a² + a²a + b²+ b²b =c ²c i.e. a²(a+1) + b²(b+1) = c²(c+1)

    => a² (a+1)/(c+1) + b²(b+1)/(c+1) = c²

    ou α₁ a²+β₁ b² = c² avec

    α₁ = a+1/c+1 et β₁= b+1/c+1

    i.e.

    avec q=1/c+1 NB : q<1

    α₁= aq + q et

    β₁= bq + q

    3.2.2

    α₁ a²+β₁ b² = c² et a³+ b³ = c³=> α₁a² + a²a + β₁b²+ b²b =c ²c i.e. a²( α₁+1) + b²( β₁+1) = c²(c+1)

    => a² (α₁+1)q + b²( β₁+1)q = c²

    ou α₂a²+β₂ b² = c² avec

    α₂ = (α₁+a)q et

    β₂= (β₁+b)q

    i.e.

    α₂ = aq² + aq + q² et

    β₂ = bq² + bq + q²

    i.e.

    α₂= a [q² + q] + q² et

    β ₂= b [q² + q] + q²





    3.2.n

    αⁿ = a (q + q² + q³ + … + qⁿ) + qⁿ et

    βⁿ = b (q + q² + q³ + … + qⁿ) + qⁿ

    i .e.

    αⁿ = aq (q⁰ + q + q² + q³ + … + qⁱ) + qⁿ NB : i=n-1

    βⁿ = bq (q⁰ + q + q² + q³ + … + qⁱ) + qⁿ

    3.2.final



    Amazing Grace - Elvis Presley




    Lim. αⁿ quand n → ∞ = aq (1/(1-q) soit avec q=1/(c+1)

    Lim. αⁿ quand n → ∞ = a/c et de même

    Lim. βⁿ quand n → ∞ = b/c

    Alors

    Lim. quand n → ∞ de αⁿa² + βⁿb² > c² =>

    a³/c + b³/c > c²


    i.e.

    a³ + b³ > c³

    contradictoire avec l’hypothèse de départ a³ + b³ = c³

    i.e. a³ + b³ = c³ impossible, ou « il n’existe pas d’entiers naturels a, b, c tels que a³ + b³ = c³ »

    CQFD




    4. Généralisation à n>3

    Pour répondre à la question ? Ǝ aⁿ + bⁿ = cⁿ pour n>3

    Ma démo reste méthodiquement la même que pour n=3,

    Sachant que dans la partition des entiers on n’aura plus le cas a³ + b³ = c³.

    On aura donc seulement le cas a³ + b³ < c³ (trivial),

    le cas a³ + b³ > c³ avec a ou b > c (trivial)

    et le cas a³ + b³ > c³ avec a, b < c,

    auquel on appliquera comme pour n=3

    la même démonstration par l’absurde concluant à

    aⁿ + bⁿ = cⁿ pour impossible pour n>3 ou

    « il n’existe pas d’entiers naturels a, b, c et n, pour n >2 tels que aⁿ + bⁿ = cⁿ »

    dannyboy likes this.
    君 子 必 存 善

  2. # ADS
    Circuit publicitaire
    Date d'inscription
    Toujours
    Messages
    Plusieurs


     

  3. #2
    Amoureux du Viêt-Nam Avatar de Thanh Ba.ch
    Date d'inscription
    janvier 2006
    Messages
    827

    Par défaut 31/3/2015 - Correction d'une coquille en § 3.2.1 ( a² + b² > c²); puis une précision en § 4

    Fermat avait écrit :

    « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir[4]. »

    Au risque de vous ennuyer, voici une démonstration qui comme Fermat l'avait annoncé, est "véritablement merveilleuse" ... vraiment


    On suppose acquis l'énoncé du problème et admis la partition de l'ensemble des entiers naturels selon le critère dit de Pythagore ...



    a, b, c entiers naturels





    1. a² + b² < c² => a, b < c ; => a³+ b³ < c³ cqfd

    2. a² + b² = c² => a, b < c ; => a³+ b³ < c³ cqfd
    3. a²+b² > c²


      1. a ou b > c ; => a³+ b³ > c³ cqfd
      2. a,b < c, Ǝ ? a³+ b³ = c³






    Démonstration par l’absurde

    Hypothèse : Ǝ a³+ b³ = c³

    Soit alors une suite de sommations, itérations (d’indice i) … notées ici 3.2.i

    3.2.1


    a² + b² > c² et a³+ b³ = c³=> a² + a²a + b²+ b²b =c ²c i.e. a²(a+1) + b²(b+1) = c²(c+1)

    => a² (a+1)/(c+1) + b²(b+1)/(c+1) = c²

    ou α₁ a²+β₁ b² = c² avec

    α₁ = a+1/c+1 et β₁= b+1/c+1

    i.e.

    avec q=1/c+1 NB : q<1

    α₁= aq + q et

    β₁= bq + q

    3.2.2

    α₁ a²+β₁ b² = c² et a³+ b³ = c³=> α₁a² + a²a + β₁b²+ b²b =c ²c i.e. a²( α₁+1) + b²( β₁+1) = c²(c+1)

    => a² (α₁+1)q + b²( β₁+1)q = c²

    ou α₂a²+β₂ b² = c² avec

    α₂ = (α₁+a)q et

    β₂= (β₁+b)q

    i.e.

    α₂ = aq² + aq + q² et

    β₂ = bq² + bq + q²

    i.e.

    α₂= a [q² + q] + q² et

    β ₂= b [q² + q] + q²





    3.2.n

    αⁿ = a (q + q² + q³ + … + qⁿ) + qⁿ et

    βⁿ = b (q + q² + q³ + … + qⁿ) + qⁿ

    i .e.

    αⁿ = aq (q⁰ + q + q² + q³ + … + qⁱ) + qⁿ NB : i=n-1

    βⁿ = bq (q⁰ + q + q² + q³ + … + qⁱ) + qⁿ

    3.2.final









    Lim. αⁿ quand n → ∞ = aq (1/(1-q) soit avec q=1/(c+1)

    Lim. αⁿ quand n → ∞ = a/c et de même

    Lim. βⁿ quand n → ∞ = b/c

    Alors

    Lim. quand n → ∞ de αⁿa² + βⁿb² > c² =>

    a³/c + b³/c > c²


    i.e.

    a³ + b³ > c³

    contradictoire avec l’hypothèse de départ a³ + b³ = c³

    i.e. a³ + b³ = c³ impossible, ou « il n’existe pas d’entiers naturels a, b, c tels que a³ + b³ = c³ »

    CQFD




    4. Généralisation à n>3

    Pour répondre à la question ? Ǝ aⁿ + bⁿ = cⁿ pour n>3

    Ma démonstration reste méthodiquement la même pour n=4 que pour n=3,

    Sachant que dans la partition des entiers on n’aura plus le cas a³ + b³ = c³.

    On aura donc seulement le cas a³ + b³ < c³ (trivial),

    le cas a³ + b³ > c³ avec a ou b > c (trivial)

    et le cas a³ + b³ > c³ avec a, b < c,

    auquel on appliquera comme pour n=3

    la même démonstration par l’absurde concluant à

    aⁿ + bⁿ = cⁿ pour impossible pour n=3


    Puis de même pour n=5 et ainsi de suite n=6
    càd. pour tout n >2

    Pour tout n > 3 donc


    « il n’existe pas d’entiers naturels a, b, c et n, pour n >2 tels que aⁿ + bⁿ = cⁿ »




    dannyboy likes this.
    君 子 必 存 善

  4. #3
    Ne mérite pas notre confiance Avatar de dannyboy
    Date d'inscription
    juillet 2010
    Messages
    1 343

    Par défaut

    Le théorème de Fermat est un peu trop dur et pas assez amusant à mon goût.
    Je suis plutôt fan des problèmes dans ce style ci Un problème de maths pour collégiens donne des sueurs froides aux internautes | Big Browser
    Car chaque année, je coach mes enfants qui participent à des olympiades de math.
    S’il y a des amateurs, on pourrait en discuter.

  5. #4
    Amoureux du Viêt-Nam Avatar de Thanh Ba.ch
    Date d'inscription
    janvier 2006
    Messages
    827

    Par défaut

    Merci dannyboy !
    Voici, ci-après, une version qui remplace la précédente car elle est encore plus
    simple
    donc plus proche de ce qu'avait dit Fermat.
    Bravo pour les participants aux Olympiades dont le niveau est "au top" !
    君 子 必 存 善

  6. #5
    Amoureux du Viêt-Nam Avatar de Thanh Ba.ch
    Date d'inscription
    janvier 2006
    Messages
    827

    Par défaut Approche PLUS FERMATIENNE (élémentaire ou fondamentale)

    Fermat avait écrit :

    « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

    Au risque de vous ennuyer, voici une démonstration qui comme Fermat l'avait annoncé, est "véritablement merveilleuse"

    ... vraiment
    __________________________________________________ __________________________________________________

    On suppose acquis l'énoncé du problème et admis la partition de l'ensemble des entiers naturels selon le critère dit de Pythagore ...


    I – Démonstration pour puissance n = 3

    NB : typographiquement a^x désigne « a puissance x »

    Rappels :
    a, b, c entiers naturels
    a < b < c

    1.a² + b² < c² a³+ b³ < c³ CQFD

    2.a² + b² = c² a³+ b³ < c³ CQFD

    3.a² + b² > c²

    3.1.a > c ou b > c ; a³+ b³ > c³ CQFD

    3.2.a < b < c , Ǝ ? a³+ b³ = c³

    Démonstration par l’absurde

    Hypothèse : Ǝ a³+ b³ = c³

    3.2.1.Soit α = (a/b), soit a = αb alors
    a³+ b³ = c³
    ³b³) + b³ = c³
    (α³ + 1) b³ = c³
    c = b [(α³ + 1)^(1/3)]
    or
    α = (a/b) et a < b α < 1
    1 < (α³ + 1) < 2
    [(α³ + 1)^(1/3)] non entier
    c = b [(α³ + 1)^(1/3)] non entier
    a³+ b³ = c³
    a, b, c entiers naturels
    CQFD
    II – Généralisation à n > 3

    NB : typographiquement a^x désigne « a puissance x »

    Rappels :
    a, b, c entiers naturels
    a < b < c
    ∀ n ≥ 3

    1.a^n + b^n ≤ c^n a^(n+1) + b^(n+1) < c^(n+1) CQFD

    2.(cas intégré en 1. ci-dessus)

    3.a^n + b^n > c^n

    3.1.a > c ou b > c ; a^(n+1) + b^(n+1) > c^(n+1) CQFD

    3.2.a < b < c , Ǝ ? a^(n+1) + b^(n+1) = c^(n+1)

    Démonstration par l’absurde

    Hypothèse : Ǝ a^(n+1) + b^(n+1) = c^(n+1)

    3.2.1.Soit α = (a/b), alors a = αb
    a^(n+1) + b^(n+1) = c^(n+1)
    [α^(n+1) b^(n+1)] + b^(n+1) = c^(n+1)
    [α^(n+1) + 1] b^(n+1) = c^(n+1)
    c = b {[α^(n+1) + 1]^[1/(n+1)]}
    or
    α = (a/b) et a < b α < 1
    1 < [α^(n+1) + 1] < 2
    ∀ n ≥ 3 n entier naturel
    ,
    {[α^(n+1) + 1]^[1/(n+1)]} non entier
    c = b {[α^(n+1) + 1]^[1/(n+1)]} non entier
    a^(n+1) + b^(n+1) = c^(n+1)
    a, b, c entiers naturels CQFD
    III – Conclusion


    Pour toute puissance n ≥ 3 , n entier naturel,

    il n’existe pas d’entiers naturels a, b, c tels que aⁿ + bⁿ = cⁿ

    Fermat avait écrit :

    « Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

    Au risque de vous ennuyer, voici une démonstration qui comme Fermat l'avait annoncé, est "véritablement merveilleuse"

    ... vraiment


    JS Bach - Orchestral Suite N° 3 in D Major_BWV 1068 - "Air"
    The Amsterdam Baroque Orchestra - Ton Koopman
    Dernière modification par Thanh Ba.ch ; 27/04/2015 à 13h39.
    君 子 必 存 善

  7. #6
    Le Việt Nam est fier de toi Avatar de DédéHeo
    Date d'inscription
    août 2006
    Localisation
    Halong Hanoi
    Messages
    9 233

    Par défaut

    Citation Envoyé par Thanh Ba.ch Voir le message
    Merci dannyboy !
    Voici, ci-après, une version qui remplace la précédente car elle est encore plus
    simple
    donc plus proche de ce qu'avait dit Fermat.
    Bravo pour les participants aux Olympiades dont le niveau est "au top" !
    Je vous prête mon frigo Hitachi hi-Freze
    car danyboy dépasse les bornes : Il accuse mes copines de racicme-licra
    Dans le film Ong BaK
    on se balance des frigos sur la tête
    Bon, il me reste des munitions:
    Ma poupée Barbie Natacha
    Ma radio soviétique à ma gauche- droite (si on balance ça sur la tête de dannyboy y va voir 36 chandelles

    http://nsm08.casimages.com/img/2014/...7412131976.jpg
    Dernière modification par DédéHeo ; 27/04/2015 à 20h36.
    ceci n'est pas une pipe
    Peut envoyer des images dans les signatures : Non

Informations de la discussion

Utilisateur(s) sur cette discussion

Il y a actuellement 1 utilisateur(s) naviguant sur cette discussion. (0 utilisateur(s) et 1 invité(s))

Discussions similaires

  1. appel solidarité Joon
    Par sompinette dans le forum Discussion Libre
    Réponses: 0
    Dernier message: 18/06/2013, 03h25
  2. appel à une traduction
    Par lecrol dans le forum Les demandes de traduction
    Réponses: 6
    Dernier message: 01/07/2011, 11h28
  3. Appel à témoin pour un documentaire
    Par On Stage dans le forum Sorties entre membres
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/10/2009, 21h16
  4. l appel des rizières
    Par mekong dans le forum La Culture au Vietnam
    Réponses: 6
    Dernier message: 05/07/2009, 12h14
  5. [Appel téléphonique] Contact au vietnam
    Par slevin dans le forum Vivre en France / Cuộc sống ở France
    Réponses: 25
    Dernier message: 11/09/2007, 21h31

Les tags pour cette discussion

Liens sociaux

Règles de messages

  • Vous ne pouvez pas créer de nouvelles discussions
  • Vous ne pouvez pas envoyer des réponses
  • Vous ne pouvez pas envoyer des pièces jointes
  • Vous ne pouvez pas modifier vos messages
  •  
A Propos

Forumvietnam.fr® - Forum vietnam® est le 1er Forum de discussion de référence sur le Vietnam pour les pays francophones. Le site Forumvietnam.fr® - Forum vietnam® a pour objectif de proposer à toutes les personnes s'intéressant au Viêt-Nam, un espace de discussions, d'échanges et d'offrir une bonne source d'informations, d'avis, et d'expériences sur les sujets qui traversent la société vietnamienne.

Si vous souhaitez nous contacter, utilisez notre formulaire de contact


© 2013 E-metis Network | Site by E-metis Webdesign
Nous rejoindre
Forumvietnam.fr est propulsé par le moteur vBulletin®.
Copyright © 2013 vBulletin Solutions, Inc. All rights reserved.
Content Relevant URLs by vBSEO 3.6.1